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L’Institut des Hautes études scientifiques (IHÉS) fêtait son cinquantenaire au  cours d’une après-midi de conférences au Musée du Quai Branly, intitulée « A la rencontre des déchiffreurs », en présence de nombreux collégiens et lycéens. L’IHÉS, situé à Bures s/Yvette – conçu sur le modèle de l’IAS de Princeton (Institute for Advanced Studies, créé en 1933, où Einstein, Oppenheimer, Gödel ont été chercheurs) – est sans doute un des plus importants centres au monde en mathématiques et en physique mathématique ; dirigé par Jean-Pierre Bourguignon, il regroupe de nombreuses médailles Fields françaises.

C’est justement Alain Connes, médaille Fields, qui ouvrait l’après-midi. Il nous a parlé des symétries dans les différentes façons de placer des convives autour d’une table, notamment quand ils sont en nombre impair ; les symétries existent pour un nombre de convives égal à 3, 7, 15, 31,… (une puissance de deux moins un).

L’informaticien et « ethnomathématicien » Marc Chemillier nous a parlé du Vanuatu (ex- Nouvelles Hébrides), et des artistes qui y dessinent des tortues sur le sable, voir la vidéo.

Il s’agit bien d’un cycle d’Euler, autrement plus compliqué que celui de l’enveloppe. Mais il respecte lui aussi la règle : un graphe peut être dessiné sans lever la main si et seulement s’il possède zéro ou deux sommets d’ordre impair (l’ordre d’un sommet est le nombre de traits qui y arrivent ou en partent dans le graphe). En effet, les sommets d’ordre impair sont les points où le tracé commence et où il finit : s’ils sont différents, il y en a deux, et deux seulement ; si le tracé commence et finit au même endroit, il y a zéro sommet d’ordre impair. Les sommets où l’on passe (ni le début du tracé ni la fin) sont forcément d’ordre pair, puisque tout trait qui arrive correspond à un trait qui part (par définition du passage).

Etienne Ghys présentait une conférence au titre alléchant : « 3264 » (lire cette conférence sur sa page, PDF). Il s’agissait principalement de coniques (la conique correspond à la coupe d’un cône par un plan : ce peut être une ellipse, une parabole ou une hyperbole). Il nous a rappelé un résultat du mathématicien français Michel Chasles (1793-1880) : il existe 3264 coniques tangentes à cinq coniques données dans un plan ! Ces coniques peuvent être réelles ou complexes ;  les mathématiciens ont cherché à savoir lesquelles pouvaient être réelles. En 1997, Ronga, Tognoli et Vust ont exhibé un cas où ces 3264 coniques sont réelles (cas où chaque côté d’un pentagone supporte cinq hyperboles, cf. figure).

En 2005, un jeune mathématicien français, Jean-Yves Welschinger, a démontré, pour les tangentes à cinq ellipses non sécantes dans un plan, qu’il existait au moins 32 coniques réelles tangentes (c’est-à-dire qu’on peut effectivement les dessiner), et a démontré l’optimalité de son théorème : il en existe au moins 32 pour toute configuration des ellipses (non sécantes), mais il y a des configurations où il n’y en a qu’effectivement 32… Ghys a qualifié ce résultat de « beau théorème » au sens que lui donnait Hilbert : 1) simple à énoncer ; 2) faisant suite à une longue histoire (c’est la cas après les coniques de Gauss et de Chasles) ; 3) faisant appel à des méthodes nouvelles (Welschinger utilise la méthode des jauges, inspirée de la physique théorique récente ; nul doute que Chasles ignorait cette méthode, comme Fermat ignorait celle qu’utilisera Wiles !) ; 4) engendrant de nouveaux développements possibles (c’est le début d’une « géométrie énumérative réelle »).

Une belle après-midi, montrant des mathématiques vivantes et animées.

Alexandre Moatti
pour science.gouv.fr
et pour son blog indispensables.net