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De la Relativité au GPS

Les interactions entre, l’industrie d’une part, la recherche fondamentale et son financement, d’autre part, sont l’objet de discussions passionnées, en France. Pour illustrer cette thème, le système GPS est un cas d’école : pur produit de l’industrie aérospatiale, il bénéficie des apports la théorie de la relativité d’Einstein, issue de considérations  théoriques. Qu’est-ce que la théorie de la relativité ? Comment fonctionne un GPS ? Quel rapport y a-t-il entre ces deux créations, l’une théorique, l’autre pratique ?

Généralités sur la relativité et le GPS

Le terme relativité en physique évoque généralement Albert Einstein (1879-1955). Cela se comprend puisque c’est grâce aux réflexions qu’il a menées il y a environ cent ans que le chercheur allemand est arrivé à des conclusions tout à fait étonnantes et très peu intuitives, vérifiées expérimentalement de très nombreuses fois par la suite. Par exemple, Einstein montre que le temps ne s’écoule pas de la même façon au rez-de-chaussée d’un immeuble qu’au dernier étage ; et de manière générale, une horloge en altitude prend de l’avance sur une autre située plus bas. Il s’agit d’un effet gravitationnel. Cependant, le décalage est si faible que l’on peut l’ignorer dans la plupart des gestes du quotidien. En revanche, si le degré de précision que l’on cherche dans la mise à l’heure de deux horloges atteint la cent millionième de seconde, comme cela est le cas avec le GPS, il est indispensable de tenir compte de cet infime décalage temporel. Or, comme chacun le sait, à l’aide d’un GPS il est possible de se localiser à quelques mètres près. Pour cela, l’appareil échange des informations avec des satellites situés à 20 000 km d’altitude. C’est grâce à la mesure du temps que met un signal électromagnétique pour voyager sur cette distance que l’on parvient à se localiser. Compte tenu de la très grande vitesse avec laquelle un tel signal se propage c’est la vitesse de la lumière - environ 300 000 000 m/s – on comprend qu’une petite erreur sur l’estimation du temps de trajet engendre une grosse incertitude sur la localisation. Pour éviter cela, il est indispensable que l’horloge à bord du satellite soit parfaitement synchrone avec celle dans l’appareil GPS, ce qui implique la prise en considération des effets relativistes. Voilà pourquoi il n’y aurait pas de GPS sans relativité. Avant de nous pencher sur la relativité, intéressons nous au GPS.

Le GPS

Ces origines

C’est avec le lancement du Spoutnik en 1957 que l’idée du GPS (Global Positioning System) est née. En effet, dans la mesure où l’on était capable de localiser le satellite grâce aux « bip-bip » qu’il émettait, il devenait envisageable de faire l’inverse… A cette fin, l’US Navy développe le système Transit, opérationnel au cours des années 1960. Malheureusement, la méthode et la technologie employées ne permettaient la localisation qu’après une longue attente, parfois près de 90 minutes ! Avant même que le premier satellite de ce système ne soit lancé en 1964, le département américain de la défense se met à la recherche du remplaçant de Transit. C’est ainsi que le GPS naît : le premier satellite est mis en orbite en 1978 et c’est en 1984 que le président Ronald Reagan (1911-2004) annonce que les civils pourront également bénéficier, en partie seulement, des possibilités qu’offre ce système.

Un principe de base élémentaire

Le principe de la localisation GPS est très simple, c’est celui de la triangulation. L’exemple suivant permet de le comprendre. Supposons que nous soyons perdus quelque part en France. Si nous passons devant un panneau indiquant que Paris est à 150 km sans en donner la direction, nous saurons que nous sommes situés quelque part sur un cercle centré sur Paris et de rayon 150 km. Si par ailleurs un autre panneau nous indique que nous sommes à 230 km d’Orléans, nous saurons que nous sommes également situés quelque part sur un cercle centré sur Orléans et de rayon 230 km. Il suffit donc de dessiner ces deux cercles et de voir où ils se coupent. Généralement, ils se couperont en deux points (Dieppe et Sainte-Menehould dans notre exemple) et nous aurons donc besoin d’une troisième indication afin d’éliminer l’un des deux points, sauf si nous avons de bonnes raisons pour en éliminer un sans indication supplémentaire. Dans notre exemple, si nous savons que nous ne sommes pas au bord de la mer, nous pourrons éliminer Dieppe et conclure que nous sommes à Sainte-Menehould.

Nous pourrions ainsi nous localiser avec précision si tous les panneaux en France étaient des triptyques indiquant notre distance par rapport à trois villes et toujours les mêmes trois, par exemple Paris, Orléans, et Lyon. C’est précisément cette idée qui est en jeu dans le GPS. Une vingtaine de satellites à 20 000 km d’altitude jouent le rôle des trois villes de l’exemple précédent. Pourquoi tant de satellites ? Car il faut qu’au moins 4 satellites soient toujours « visibles » depuis n’importe quel point du globe. Pourquoi si haut en altitude ? Car s’agissant d’un système militaire, il fallait tenir les satellites en dehors de toute atteinte terrestre possible (missiles, etc)…

En trois dimensions, ce ne sont plus des cercles qu’il faut dessiner mais des surfaces sphériques. Or, l’intersection de deux sphères creuses donne un cercle. La donnée d’une troisième information fixe une nouvelle sphère qui coupe le cercle en deux points. Comme précédemment, nous aurons besoin d’une information supplémentaire, une quatrième ici, pour déterminer notre position. Dans la pratique, le positionnement se fait par rapport à trois satellites seulement, car généralement il y a de bonnes raisons pour éliminer l’un des deux points : la quatrième information permet alors de déterminer l’altitude du point où l’on se trouve.

Une difficulté majeure : connaître la distance

Dans l’exemple des villes, la simplicité de la méthode permettant la localisation venait de l’existence de panneaux indiquant les distances, mais aussi du fait que la position des villes sur Terre est fixe et bien connue. Est-ce aussi simple en GPS ? En admettant que la position des satellites repères dans le ciel soit bien connue, comment depuis la Terre puis-je connaître ma distance par rapport à un satellite ? Comment puis-je obtenir l’information équivalente à celle donnée par les panneaux ? Cela est simple : depuis le point où je me trouve, il suffit que j’émette un signal électromagnétique vers un satellite et que j’attende son retour après réflexion ; connaissant la vitesse de propagation du signal (300 000 km/s) je pourrais déterminer ma distance. Si par exemple, l’aller-retour dure 0,2 seconde, je saurai que je me trouve à 30 000 km du satellite. Il suffira donc que je répète cette opération avec trois ou quatre satellites repères différents pour me localiser précisément.

Cette méthode, simple et facile à comprendre, pose cependant un gros problème : en situation de guerre, l’émission du signal par une personne permettrait à l’ennemi de la repérer ! Si le signal ne part pas du sol, il doit provenir du satellite. Dans ce cas, comment connaître ma distance à un satellite grâce à un signal émis par le satellite ? Cela est simple : il faut que le satellite émette un « bip » et envoie au même instant un signal indiquant l’heure de l’émission de manière très précise ; à la réception, il suffira de comparer l’heure de réception à celle d’émission pour connaître le délai et donc la distance. Pour atteindre cet objectif, nous avons donc besoin d’horloges parfaitement synchronisées qui garantissent une précision atomique. De telles horloges atomiques embarquées à bord des satellites ne peuvent évidemment pas être intégrés aux récepteurs GPS, lesquels possèdent des horloges à quartz. Aussi, pour synchroniser un récepteur avec les satellites on utilise une belle astuce.

Une belle astuce

Nous avons vu que trois sphères se coupent en deux points A et B. Si le récepteur est synchrone avec les satellites, le signal provenant du quatrième satellite déterminera une quatrième sphère qui passera par l’un des deux points : A ou B. Que se passe-t-il si l’horloge du récepteur n’est pas synchrone avec celles des satellites ? Dans ce cas, à cause du décalage des horloges, le temps de voyage des signaux sera mal estimé : il sera par exemple trop long de t. Par conséquent, les trois sphères déterminées par le récepteur seront trop grandes de x, mais se couperont quand même en deux points C et D, différents de A et B. La quatrième sphère, elle aussi trop grande de x, ne passera ni par C, ni par D ! Ainsi, l’information provenant du quatrième satellite permet en fait au récepteur de « se rendre compte » que son horloge n’est pas synchrone : il apporte donc à son horloge les corrections nécessaires jusqu’à ce que les quatre sphères se coupent en un point ; il se synchronise ainsi avec les satellites. Le tour est joué et cela permet de se localiser avec une extrême précision !

Les théories de relativité d’Einstein

La relativité restreinte

Une contradiction interne à la physique était apparue à la fin du XIXè siècle : la théorie électromagnétique de Maxwell se révélait incompatible avec la relativité de Galilée-Newton selon laquelle le mouvement rectiligne-uniforme - c’est-à-dire sans accélération - est comme le repos. Selon ce principe de parfaite relativité d’un tel mouvement - appelé aussi inertiel - aucune expérience réalisée à l’intérieur d’un wagon non accéléré ne devrait permettre de déterminer la vitesse du wagon, dans la mesure où la vitesse n’est pas une notion absolue mais relative. Or, la théorie de Maxwell indiquait qu’à l’aide d’une onde électromagnétique on devait pouvoir déterminer la vitesse (donc absolue) du wagon. Il fallait donc soit modifier - voire abandonner - la théorie de Maxwell ou celle de Galilée-Newton. Einstein est préoccupé par cette affaire. Un deuxième problème occupe ses pensées : le phénomène d’induction découvert par Faraday en 1832. Ce dernier avait expérimentalement montré que le mouvement d’un aimant au voisinage d’un conducteur, une bobine électrique par exemple, y engendre un courant, dit « induit ». Le mouvement étant relatif, afin que l’on observe une induction, il suffit que l’un bouge par rapport à l’autre, peu importe lequel est fixe par rapport à l’expérimentateur. Malgré cette symétrie et relativité du mouvement, la théorie électromagnétique rendait compte de l’apparition du courant induit de deux manières différentes, selon que l’aimant ou la bobine était fixe dans le référentiel du laboratoire. Cela n’était pas non plus satisfaisant aux yeux d’Einstein. Les réflexions qu’il mène à ces sujets le conduisent à remettre en cause deux notions fondamentales discutées notamment par le philosophe Ernst Mach (1838-1916) : celles du temps et de l’espace. En effet, afin d’éliminerces contradictions, Einstein propose comme contrainte théorique la parfaite relativité du mouvement des référentiels inertiels (ou galiléens, c’est-à -dire en mouvement rectiligne-uniforme les uns par rapport aux autres) et aboutit en 1905 à la théorie de la « relativité restreinte » dans laquelle ni l’espace, ni le temps ne sont absolus séparément : longueurs et durées mesurées dépendent de l’observateur inertiel (de même que la notion de simultanéité de deux événements distants). On résume parfois cela en disant qu’avec la vitesse les longueurs se contractent et les durées se dilatent.

La relativité générale

Einstein cherche ensuite à étendre la théorie de la relativité restreinte aux mouvements accélérés et donc à la généraliser. Ce travail aboutit à la « Relativité générale », laquelle est en fait une théorie de la gravitation, différente de celle de Newton. Avec Einstein, l’écoulement du temps dépend de l’intensité de la gravitation : il ralentit au voisinage des masses.

Corrections relativistes et GPS

Ainsi, d’une part, en raison de sa vitesse, une horloge à bord d’un satellite GPS prend quelques microsecondes de retard par jour par rapport à une horloge au sol (principe de relativité restreinte) ; d’autre part, en raison de son altitude, elle prend quelques dizaines de microsecondes d’avance par jour sur celle au sol (principe de relativité générale). Au total donc, la correction qu’il faut introduire dans la lecture précise de l’heure est principalement due à la relativité dans son ensemble. Sans cette correction, l’estimation de la durée du voyage des signaux GPS serait erronée et la localisation précise serait impossible. Kamil Fadel pour Science.gouv.fr

Notes:
En effet, envisageons deux cercles qui se coupent en deux points et un troisième cercle passant par l’un de ces deux points ; si l’on agrandit le rayon de ces cercles d’une même quantité, on « perdra » le point intersection appartenant aux trois cercles.

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Oren Jack Turner, Princeton, N.J.
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